特殊正交群及其李代数

群

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。

特殊正交群SO(3)

\[ SO(3) = \left\{ \boldsymbol{R} \in \mathbb{R}^{3 \times 3} | \boldsymbol{R}\boldsymbol{R}^T = \boldsymbol{I}, \det(\boldsymbol{R})=1 \right\} \]

特殊欧式群

\[ SE(3) = \left\{ \boldsymbol{T} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{R} & \boldsymbol{t} \\ \boldsymbol{0}^T & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4 \times 4} | \boldsymbol{R} \in SO(3), \boldsymbol{t} \in \mathbb{R}^3 \right\} \]

矩阵指数

矩阵指数的定义为：

\[ \exp(\boldsymbol{X}) = \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!} \boldsymbol{X}^k} \]

指数矩阵有如下性质：

\[ \exp(\boldsymbol{0}) = \boldsymbol{I} \]

关于指数矩阵的微分方程求解：

\[ \frac{d\boldsymbol{y}(t)}{dt} = \boldsymbol{A} \boldsymbol{y}(t), \quad \boldsymbol{y}(0) = \boldsymbol{y}_0 \]

\[ \boldsymbol{y}(t) = \exp(\boldsymbol{A}t) \boldsymbol{y}_0 \]

李群

李群是指具有连续光滑性质的群。