拓扑空间

集合上的拓扑

对于集合 \( X \)，　则 \( X \)的子集簇（子集的集合） \( \mathscr{T} \) 称为 \( X \)上的拓扑，也称为拓扑结构，若：

1. \( \emptyset, X \in \mathscr{T} \)
2. 任意个 \( \mathscr{T} \)的元素的并集属于 \( \mathscr{T} \)
3. 有限个 \( \mathscr{T} \)的元素的的交集属于 \( \mathscr{T} \)

该定义来自于[liangcanbin2007] 和 [wiki:topologyspace]

有一点需要注意，一般来说，我们不太会提＂元素和元素的并集或者交集＂这种概念，但是因为这里的元素恰好也是集合，所以他们有了并集和交集的概念．

例：下图所示了4个拓扑结构和2个非拓扑结构，其中，第一行和第二行４个子图均表示拓扑结构． 第三行的两个子图表示的不是拓扑结构，左图是因为 \({2} \cap {3} = {2,3} \not\in \mathscr{T} \)，违反了定义2， 右图是因为 \( {1,2} \cup {2,3} = {2} \not\in \mathscr{T} \)，违反了定义3．

直观的说，对于一个集合，其满足一些条件的子集的集合就是拓扑结构，定义只给出了必要条件，实际上拓扑结构的选取方式可以有多种．

拓扑空间　

拓扑空间是一种 数学结构(Mathematical Structure) ，对于一个集合 \( X \)，若在其上定义一种拓扑结构 \( \mathscr{T} \)，则二元组 ( \( X,\mathscr{T}) \)称为拓扑空间， \( X \)的元素 \( \)通常称为拓扑空间 \( (X, \mathscr{T}) \)的点.